計量培訓:通用計量術(shù)語(yǔ)知識講座
中國計量科學(xué)研究院  施昌彥

一、測量誤差和相對誤差

　　1.[測量]誤差是指“測量結果減去被測量的真值”(5.16條)。
　　這個(gè)定義從20世紀70年代以來(lái)沒(méi)有發(fā)生過(guò)變化，以公式表示為:測量誤差=測量結果-真值。測量結果是由測量所得到的賦予被測量的值，是客觀(guān)存在的量的實(shí)驗表現，僅是對測量所得被測量之值的近似或估計，顯然它是人們認識的結果，不僅與量的本身有關(guān)，而且與測量程序、測量?jì)x器、測量環(huán)境以及測量人員等有關(guān)。真值是量的定義的完整體現，是與給定的特定量的定義完全一致的值，它是通過(guò)完善的或完美無(wú)缺的測量，才能獲得的值。所以，真值反映了人們力求接近的理想目標或客觀(guān)真理，本質(zhì)上真值是不能確定的，量子效應排除了唯一真值的存在，實(shí)際上用的是約定真值，須以測量不確定度來(lái)表征其所處的范圍。因而作為測量結果與真值之差的測量誤差，也是無(wú)法準確得到或確切獲知的。

　　這里應予指出的是:過(guò)去人們有時(shí)會(huì )誤用誤差一詞，即通過(guò)誤差分析給出的往往是被測量值不能確定的范圍，而不是真正的誤差值。按定義誤差與測量結果有關(guān)，即不同的測量結果有不同的誤差，合理賦予的被測量之值，各有其誤差而并不存在一個(gè)共同的誤差。一個(gè)測量結果的誤差，若不是正值(正誤差)就是負值(負誤差)，它取決于這個(gè)結果是大于還是小于真值。
　　如圖所示，被測量值為y，其真值為t，第i次測量所得的觀(guān)測值或測得值為y_i。由于誤差的存在使測得值與真值不能重合，設測得值呈正態(tài)分布N(μ，σ)，則分布曲線(xiàn)在數軸上的位置(即μ值)決定了系統誤差的大小，曲線(xiàn)的形狀(按σ值)決定了隨機誤差的分布范圍[μ-kσ，μ+kσ]及其在范圍內取值的概率。由圖可見(jiàn)，誤差和它的概率分布密切相關(guān)，可以用概率論和數理統計的方法來(lái)恰當處理。實(shí)際上，誤差可表示為:
　　誤差=測量結果-真值=(測量結果-總體均值)+(總體均值-真值)=隨機誤差+系統誤差
    

　　因此，任意一個(gè)誤差Δ_i均可分解為系統誤差ε_i和隨機誤差δ_i的代數和(見(jiàn)5.19和5.20條)，即可用下式表示為Δ_i=ε_i+δ_i。實(shí)際上，測量結果的誤差往往是由若干個(gè)分量組成的，這些分量按其特性均可分為隨機誤差與系統誤差兩大類(lèi)，而且無(wú)例外地取各分量的代數和，換言之，測量誤差的合成只用“代數和”方式。
　　不要把誤差與不確定度混為一談。測量不確定度表明賦予被測量之值的分散性，它與人們對被測量的認識程度有關(guān)，是通過(guò)分析和評定得到的一個(gè)區間。測量誤差則是表明測量結果偏離真值的差值，它客觀(guān)存在但人們無(wú)法準確得到 。例如:測量結果可能非常接近于真值(即誤差很小)，但由于認識不足，人們賦予的值卻落在一個(gè)較大區間內(即測量不確定度較大)；也可能實(shí)際上測量誤差較大，但由于分析估計不足，使給出的不確定度偏小。國際上開(kāi)始研制成功銫原子頻率標準時(shí)，經(jīng)分析其測量不確定度達到10^-15量級，運行一段時(shí)間后，發(fā)現有一項重要因素不可忽視，經(jīng)再次分析和評定，不確定度擴大到10^-14量級，這說(shuō)明人們的認識提高了。因此，在評定測量不確定度時(shí)應充分考慮各種影響因素，并對不確定度的評定進(jìn)行必要的驗證。
　　當有必要與相對誤差相區別時(shí)，此術(shù)語(yǔ)有時(shí)稱(chēng)為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的絕對值相混淆，后者為誤差的模。

　　2.相對誤差是指“測量誤差除以被測量的真值”(5.18條)。
　　設測量結果y減去被測量約定真值t，所得的誤差或絕對誤差為Δ。按定義將絕對誤差Δ除以約定真值t，即可求得相對誤差為δ=Δ/t×100%=(y-t)/t×100%。所以，相對誤差表示絕對誤差所占約定真值的百分比，它也可用數量級來(lái)表示所占的份額或比例，即表示為
　　δ=[(y/t-1)×10ⁿ]×10^-n
　　當被測量的大小相近時(shí)，通常用絕對誤差進(jìn)行測量水平的比較。當被測量值相差較大時(shí)，用相對誤差才能進(jìn)行有效的比較。例如:測量標稱(chēng)值為10.2mm的甲棒長(cháng)度時(shí)得到實(shí)際值為10.0mm，其示值誤差Δ=0.2mm；而測量標稱(chēng)值為100.2mm的乙棒長(cháng)度時(shí)得到實(shí)際值為100.0mm，其示值誤差Δ′=0.2mm。它們的絕對誤差雖然相同，但乙棒的長(cháng)度是甲棒的10倍左右，顯然要比較或反映兩者不同的測量水平，還須用相對誤差或誤差率的概念。即δ=0.2/10.0=2%，而δ′=0.2/100.0=0.2%，所以乙棒比甲棒準確，或者用數量級表示為δ=2×10^-2，δ′=2×10^-3，從而也反映出后者的測量水平高于前者一個(gè)數量級。

　　另外，在某些場(chǎng)合下應用相對誤差還有方便之處。例如:已知質(zhì)量流量計的相對誤差為δ，用它測定流量為Q(kg/s)的某管道所通過(guò)的流體質(zhì)量及其誤差。經(jīng)過(guò)時(shí)間T(s)后流過(guò)的質(zhì)量為QT(kg)，故其絕對誤差為QδT(kg)。所以，質(zhì)量的相對誤差仍為QδT/(QT)=δ，而與時(shí)間T無(wú)關(guān)。
　　還應指出的是:絕對誤差與被測量的量綱相同，而相對誤差是量綱一的量或無(wú)量綱量。 

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　　二、隨機誤差和系統誤差

　　1.隨機誤差是指“測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進(jìn)行無(wú)限多次測量所得結果的平均值之差”(5.19條)。
　　這是1993年由BIPM、IEC、ISO、OIML等國際組織做了原則修改后的新定義。它表明測量結果是真值、系統誤差與隨機誤差這三者的代數和；而測量結果與無(wú)限多次測量所得結果的平均值(即總體均值)差，則是這一測量結果的隨機誤差分量。隨機誤差等于誤差減去系統誤差。1993年前，隨機誤差被定義為在同一量的多次測量過(guò)程中，以不可預知方式變化的測量誤差的分量。
　　老定義中這個(gè)以不可預知方式變化的分量，是指相同條件下多次測量時(shí)誤差的絕對值和符號變化不定的分量，它時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負、不可預定。例如:天平的變動(dòng)性、測微儀的示值變化等，都是隨機誤差分量的反映。事實(shí)上，多次測量時(shí)的條件不可能絕對地完全相同，多種因素的起伏變化或微小差異綜合在一起，共同影響而致使每個(gè)測得值的誤差以不可預定的方式變化?，F在，隨機誤差是按其本質(zhì)進(jìn)行定義的，但可能確定的只是其估計值，因為測量只能進(jìn)行有限次數，重復測量也是在“重復性條件”下進(jìn)行的(見(jiàn)5.6條)。就單個(gè)隨機誤差估計值而言，它沒(méi)有確定的規律；但就整體而言，卻服從一定的統計規律，故可用統計方法估計其界限或它對測量結果的影響。

　　隨機誤差大抵來(lái)源于影響量的變化，這種變化在時(shí)間上和空間上是不可預知的或隨機的，它會(huì )引起被測量重復觀(guān)測值的變化，故稱(chēng)之為“隨機效應”?？梢哉J為正是這種隨機效應導致了重復觀(guān)測中的分散性，我們用統計方法得到的實(shí)驗標準[偏]差是分散性，確切地說(shuō)是來(lái)源于測量過(guò)程中的隨機效應，而并非來(lái)源于測量結果中的隨機誤差分量。
　　隨機誤差的統計規律性，主要可歸納為對稱(chēng)性、有界性和單峰性三條:

　　1.對稱(chēng)性是指絕對值相等而符號相反的誤差，出現的次數大致相等，也即測得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而對稱(chēng)分布的。由于所有誤差的代數和趨近于零，故隨機誤差又具有抵償性，這個(gè)統計特性是最為本質(zhì)的；換言之，凡具有抵償性的誤差，原則上均可按隨機誤差處理。
　　2.有界性是指測得值誤差的絕對值不會(huì )超過(guò)一定的界限，也即不會(huì )出現絕對值很大的誤差。
　　3.單峰性是指絕對值小的誤差比絕對值大的誤差數目多，也即測得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對集中地分布的。

　　2.系統誤差是指“在重復性條件下，對同一被測量進(jìn)行無(wú)限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差”(5.20條)。
　　由于只能進(jìn)行有限次數的重復測量，真值也只能用約定真值代替，因此如真值一樣，系統誤差及其原因不能完全獲知可能確定的系統誤差，只是其估計值，并具有一定的不確定度。這個(gè)不確定度也就是修正值的不確定度，它與其他來(lái)源的不確定度分量一樣貢獻給了合成標準不確定度。值得指出的是:不宜按過(guò)去的說(shuō)法把系統誤差分為已定系統誤差和未定系統誤差，也不宜說(shuō)未定系統誤差按隨機誤差處理。因為這里所謂的未定系統誤差，其實(shí)并不是誤差分量而是不確定度；而且所謂按隨機誤差處理，其概念也是不容易說(shuō)得清楚的。
　　系統誤差大抵來(lái)源于影響量，它對測量結果的影響若已識別并可定量表述，則稱(chēng)之為“系統效應”(systematic effect)。該效應的大小若是顯著(zhù)的，則可通過(guò)估計的修正值予以補償。例如:高阻抗電阻器的電位差(被測量)是用電壓表測量的，為減少電壓表負載效應給測量結果帶來(lái)的“系統效應”，應對該表的有限阻抗進(jìn)行修正。但是，用以估計修正值的電壓表阻抗與電阻器阻抗(它們均由其它測量獲得)，本身就是不確定的。這些不確定度可用于評定電位差的測量不確定度分量，它們來(lái)源于修正，從而來(lái)源于電壓表有限阻抗的系統效應。另外，為了盡可能消除系統誤差，測量器具須經(jīng)常地用計量標準或標準物質(zhì)進(jìn)行調整或校準；但是同時(shí)須考慮的是:這些標準自身仍帶著(zhù)不確定度。

　　至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術(shù)語(yǔ)，它們前面帶有正負(±)號，因而是一種可能誤差的分散區間，并不是某個(gè)測量結果的誤差。對于測量?jì)x器而言，其示值的系統誤差稱(chēng)為測量?jì)x器的“偏移”(bias)，通常用適當次數重復測量示值誤差的均值來(lái)估計。
　　過(guò)去所謂的“誤差傳播定律”，所傳播的其實(shí)并不是誤差，而是不確定度?，F在已改稱(chēng)為“不確定度傳播定律”。還要指出的是:誤差一詞應按其定義使用，不宜用它來(lái)定量表明測量結果的可靠程度。
　　歸納一下《通用計量術(shù)語(yǔ)及定義》5.16～5.20條以及5.9～5.14條的要點(diǎn)，可將測量誤差與測量不確定度之間存在的主要區別用下表簡(jiǎn)示。
    

　　三、修正值、修正因子及偏差

　　1.修正值是指“用代數方法與未修正測量結果相加，以補償其系統誤差的值”(5.21條)。
　　含有誤差的測量結果，加上修正值后就可能補償或減少誤差的影響。由于系統誤差不能完全獲知，因此這種補償并不完全。修正值等于負的系統誤差，這就是說(shuō)加上某個(gè)修正值，就像扣掉某個(gè)系統誤差，其效果是一樣的，只是人們考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同而已:
　　真值=測量結果+修正值=測量結果-誤差
　　在量值溯源和量值傳遞中，常常采用這種加修正值的直觀(guān)的辦法。用高一個(gè)等級的計量標準來(lái)校準或檢定測量?jì)x器，其主要內容之一就是要獲得準確的修正值。例如:用頻率為fs的標準振蕩器作為信號源，測得某臺送檢的頻率計的示值為f，則示值誤差Δ為f-fs。所以，在今后使用這臺頻率計時(shí)應扣掉這個(gè)誤差，即加上修正值(-Δ)，可得f+(-Δ)，這樣就與fs一致了。換言之，系統誤差可以用適當的修正值來(lái)估計并予以補償。但應強調指出:由于系統誤差不能完全獲知，因此這種補償是不完全的，也即修正值本身就含有不確定度。當測量結果以代數和方式與修正值相加之后，其系統誤差之模會(huì )比修正前的要小，但不可能為零，也即修正值只能對系統誤差進(jìn)行有限程度的補償。

　　2.修正因子是指“為補償系統誤差而與未修正測量結果相乘的數字因子”(5.22條)。
　　含有系統誤差的測量結果，乘以修正因數后就可以補償或減少誤差的影響。比方由于等臂天平的不等臂誤差，不等臂天平的臂比誤差，線(xiàn)性標尺分度時(shí)的倍數誤差，以及測量電橋臂的不等稱(chēng)誤差所帶來(lái)的測量結果中的系統誤差，均可以通過(guò)乘一個(gè)修正因數得以補償。但是，由于系統誤差并不能完全獲知，因而這種補償是不完全的，也即修正因數本身仍含有不確定度。
　　通過(guò)修正因子或修正值已進(jìn)行了修正的測量結果，即使具有較大的不確定度，但可能仍然十分接近被測量的真值(即誤差甚小)，因此，不應把測量不確定度與已修正測量結果的誤差相混淆。

　　3.偏差是指“一個(gè)值減去其參考值”(5.17條)。
　　以測量?jì)x器的偏差為例，它是從零件加工的“尺寸偏差”的概念引伸過(guò)來(lái)的。尺寸偏差是加工所得的某一實(shí)際尺寸，與其要求的參考尺寸或標稱(chēng)尺寸之差。相對于實(shí)際尺寸來(lái)說(shuō)，由于加工過(guò)程中諸多因素的影響，它偏離了要求的或應有的參考尺寸，于是產(chǎn)生了尺寸偏差，即
　　尺寸偏差=實(shí)際尺寸-應有參考尺寸
　　對于量具也有類(lèi)似情況。例如:用戶(hù)需要一個(gè)準確值為1kg的砝碼，并將此應有的值標示在砝碼上；工廠(chǎng)加工時(shí)由于諸多因素的影響，所得的實(shí)際值為1.002kg，此時(shí)的偏差為+0.002kg。顯然，如果按照標稱(chēng)值1kg來(lái)使用，砝碼就有-0.002kg的示值誤差；而如果在標稱(chēng)值上加一個(gè)修正值+0.002kg后再用，則這塊砝碼就顯得沒(méi)有誤差了。這里的示值誤差和修正值，都是相對于標稱(chēng)值而言的?，F在從另一個(gè)角度來(lái)看，這塊砝碼之所以具有-0.002kg的示值誤差，是因為加工發(fā)生偏差，偏大了0.002kg，從而使加工出來(lái)的實(shí)際值(1.002kg)偏離了標稱(chēng)值(1kg)。為了描述這個(gè)差異，引入“偏差”這個(gè)概念就是很自然的事，即
　　偏差=實(shí)際值-標稱(chēng)值=1.002kg-1.000kg=0.002kg
　　在此可見(jiàn)，定義中的偏差與修正值相等，或與誤差等值而反向。應強調指出的是:偏差相對于實(shí)際值而言，修正值與誤差則相對于標稱(chēng)值而言，它們所指的對象不同。所以在分析時(shí)，首先要分清所研究的對象是什么。還要提及的是:上述尺寸偏差也稱(chēng)實(shí)際偏差或簡(jiǎn)稱(chēng)偏差，而常見(jiàn)的概念還有“上偏差”(最大極限尺寸與應有參考尺寸之差)及“下偏差”(最小極限尺寸與應有參考尺寸之差)，它們統稱(chēng)為“極限偏差”。由代表上、下偏差的兩條直線(xiàn)所確定的區域，即限制尺寸變動(dòng)量的區域，通稱(chēng)為尺寸公差帶。