計量培訓：測量不確定度表述講座
國家質(zhì)量技術(shù)監督局  李慎安

　　7.1  合成標準不確定u_c的定義如何理解？
　　合成標準不確定度無(wú)例外地用標準偏差給出，其符號u以小寫(xiě)正體c作為下角標；如給出的為相對標準不確定度，則應另加正體小寫(xiě)下角標rel，成為u_crel。按《JJF1001》定義為:當測量結果是由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標準不確定度。如各量彼此獨立，則協(xié)方差為零；如不為零(相關(guān)情況下)，則必須加進(jìn)去。
　　上述定義可以理解為:當測量結果的標準不確定度由若干標準不確定度分量構成時(shí)，按方和根(必要時(shí)加協(xié)方差)得到的標準不確定度。有時(shí)它可以指某一臺測量?jì)x器，也可以指一套測量系統或測量設備所復現的量值。在某個(gè)量的不確定度只以一個(gè)分量為主，其他分量可忽略不計的情況下，顯然就無(wú)所謂合成標準不確定度了。

　　7.2  什么是輸入量、輸出量？
　　在間接測量中，被測量Y不能直接測量，而是通過(guò)若干個(gè)別的可以直接測量的量或是可以通過(guò)資料查出其值的量，按一定的函數關(guān)系得出:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_n)
　　其中X_i為輸入量，而把Y稱(chēng)之為輸出量。
　　例如:被測量為一個(gè)立方體的體積V，通過(guò)其長(cháng)l、寬b和高h三個(gè)量的測量結果，按函數關(guān)系V=l·b·h計算，則l，b，h為輸入量，V為輸出量。

　　7.3  什么叫作線(xiàn)性合成？
　　例如在測量誤差的合成計算中，其各個(gè)誤差分量，不論是隨機誤差分量還是系統誤差分量，當合成為測量誤差時(shí)，所有這些分量按代數和相加。這種合成的方法稱(chēng)為線(xiàn)性合成。
　　不確定度的各個(gè)分量如彼此獨立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個(gè)分量彼此強相關(guān)，且相關(guān)系數r=+1，則合成時(shí)是代數相加，即線(xiàn)性合成而非方和根合成。

　　7.4  什么叫靈敏系數？
　　當輸出量Y的估計值y與輸入量X_i的估計值x₁，x₂，…x_n之間有
　　y=f(x₁，x₂…，x_n)的函數關(guān)系時(shí)，在不確定度的傳播中，把偏導數，=c_i稱(chēng)為靈敏系數，它定量地給出了輸入量x_i，與輸出量y之間的相互變化關(guān)系之比值。它本身也是個(gè)量值，有數值和量綱，往往其量綱并非1，而是有測量單位的，這種情況下不能將它按純數對待。
　　偏導數應該是在代入輸入量的估計值時(shí)作出評定，即在X_i=x_i時(shí)評定的。
　　
　　它描述了輸入估計值x_i的微小變化△x_i，引起y的變化(△y)_i=△x_i。如果這個(gè)變化是由估計值x_i的標準不確定度u(x_i)所引起，則y相應的變化為u(x_i)。因此，合成方差可以看作各項方差之和，而每一項代表了由每個(gè)輸入估計值x_i相關(guān)聯(lián)之估計方差產(chǎn)生的輸出估計值y的估計方差。也就是:
　　式中:
　　c_i=，u_i(y)=|c_i|u_i(x_i)
　　以下給出幾種比較簡(jiǎn)單而又較常見(jiàn)的函數關(guān)系的靈敏系數:
　　(a)y=Ax₁+Bx₂
　　c₁=A；c₂=B
　　(b)y=1/x
　　c=-(1/x²)
　　(c)y=x₁/(x₁+x₂)
　　c₁=x₂/(x₁+x₂)²
　　c₂=-x₁/(x₁+x₂)²
　　(d)y=x/(1+x)
　　c=1/(1+x)²
　　(e)y=x₁x₂
　　c₁=x₂，c₁=x₁
　　(f)y=x²
　　c=2x
　　(g)y=x^1/2
　　c=1/2(2x^1/2)
　　
　　
　　以上A，B，a，b，k可以是負數或分數或等于1。
　　當用實(shí)驗方法求靈敏系數時(shí)，特別是在y與x_i之間不存在簡(jiǎn)單函數關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)將其余輸入量保持不變，僅變化第i個(gè)x_i，設變化量為△x_i，由此而導致的y的變化設為△y，則c_i=△y/△x_i。但也可通過(guò)函數關(guān)系計算出△y。
　　輸入量X_i的不確定度u(x_i)只有在乘了相應的靈敏系數c_i之后，才是輸出量Y的不確定度u(y)的一個(gè)分量u_i(y)。它們也才會(huì )有相同的量綱。

　　7.5  在線(xiàn)性函數關(guān)系中輸入量的相對標準不確定度u_rel(x_i)是否可以也按方和根合成為輸出量Y的相對標準不確定度u_rel(y)？
    在輸入量X₁，X₂，…，X_N彼此獨立的情況下，如果它們與輸出量Y的函數關(guān)系是線(xiàn)性的，例如最簡(jiǎn)的一種情況:
    Y=X₁+X₂
若已知u_rel(x₁)與u_rel(x₂)，是不能按方和根計算Y的相對標準不確定度u_rel(y)的。例如:由兩個(gè)500g的砝碼相加，組成為輸出量1000g。每個(gè)500g砝碼的標準不確定度u(x₁)=u(x₂)=0.5g，則這輸出量1000g的不確定度實(shí)際上u(y)===0.71g。對1000g來(lái)說(shuō)，其相對標準不確定度應為u_rel(y)=0.71g/1000g≈0.7×10^-3。但如果用相對不確定度來(lái)合成，u_rel(x₁)=u_rel(x₂)=0.5g/500g=1×10^-3，它們未合成前已大于u_rel(y)。顯然是不合理的。
    有些情況下，例如在化學(xué)分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對標準不確定度均是除以某個(gè)相同的分母，而輸出量的相對標準不確定度也是這同一個(gè)分母，這時(shí)是可以采用方和根來(lái)合成相對標準不確定度的。
    必須注意，盡管相對標準不確定度u_rel(x_i)都無(wú)例外地是無(wú)量綱量，它們都用純數給出，但是這些純數并不都是無(wú)條件地可以相對減或是進(jìn)行方和根運算的。因為這些數都是量值，而且往往是不同定義的量值。
    也往往在這種相互獨立的線(xiàn)性函數中，輸入量X₁與X₂按B類(lèi)方法評定時(shí)，一開(kāi)始就是給出的相對標準不確定度u_rel(x₁)和u_rel(x₂)，例如通過(guò)測量?jì)x器引用誤差評定的結果。那么，由于分母不同(輸出量與輸入量)，也是不能采用方和根得出輸出量的相對合成標準不確定度u_crel(y)的。在這種情況下，必須先把u_rel(x₁)與u_rel(x₂)算成標準不確定度u(x₁)與u(x₂)后再合成為u_c(y)；如這時(shí)要求給出u_crel(y)，即可將u_c(y)除以y。這是當前極易被忽略的問(wèn)題之一。
    7.6  當輸入量X_i與輸出量Y之間的函數關(guān)系為Y=f(X₁，X₂，…，X_N)=……時(shí)，是否也應按先算出靈敏系數c_i通過(guò)=[c_iu(x_i)]²=(y)合成？
    可以這樣合成，但不一定要如此復雜。采用這種方法需要麻煩的偏導數。更為簡(jiǎn)單的辦法是采用輸入量的相對標準不確定度u_rel(x_i)=u(x_i)/x_i>乘以其相應的x_i的指數p_i，即p_iu(x_i)/x_i，進(jìn)行簡(jiǎn)單的平方和得到輸出量Y的相對合成方差，即
    

如果我們要求得到u_c(y)而不是u_-crel(y)，則可將得到的u_crel(y)乘以y即可。這是一種完全等效的計算方法。
    例如通過(guò)物體質(zhì)量m與其運動(dòng)速度v的測量，求該物體的動(dòng)能E_k。它們之間的函數關(guān)系式(稱(chēng)測量模型)是:
    E_k=(1/2)mv²
    設輸入量m的標準不確定度為u(m)=lg，而m的最佳估計為1kg，速度v的量佳估計為100m/s，其標準不確定度u(v)=0.1m/s，求輸出量E_k的標準不確定度u(E_k)。這時(shí)，不必去求偏導數得出靈敏系數，而是求輸入量的相對標準不確定度u_rel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1×10^-3，u_rel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1×10^-3，m的指數為1，v的指數為2，則=(1×10^-3)²+(2×1×10^-3)²=5×10^-6，故u_rel(E_k)≈2.2×10^-3
    而u(E_k)=2.2×10^-3×(1/2)×1kg×(100m/s)²
    =2.2×10^-3×0.5×10⁴kg·m²/s²
    =11kg·m²/s²=11J
    如果p_i，只是正1或負1，則在這一情況下:
    

    這就是說(shuō):在這種情況下估計值y的相對合成標準不確定度，等于輸入估計值x_i的相對標準不確定度的方和根。舉例如下:
    設以鹽酸作為標準滴定溶液，用以測量某樣品中所含氫氧化鉀的質(zhì)量分數W(KOH)，標準溶液的濃度c(HCl)=0.2(1±10^-3)mol/L(k=2)，則其標準不確定度u_rel[c(HCl)]=(1/2)×1×10^-3=0.5×10^-3。滴定終點(diǎn)消耗50mL，按所用的B級滴定管△=±0.6%(△為最大允許誤差)，由于通過(guò)兩次讀數之差得出，按正態(tài)分布考慮，取包含因子k=3，得消耗體積V的相對標準不確定度u_rel(V)=(1/3)×0.6%×=0.28×10^-2。氫氧化鉀的相對摩爾質(zhì)量來(lái)自國際1995年公布的相對原子質(zhì)量表，其不確定度大大小于10^-5，可忽略不計，其值M_r(KOH)=56.10024，在本例計算中可取近似為56.10，其修約導致的不確定度即可忽略。樣品質(zhì)量m=10g，按所用天平和砝碼的相對擴展不確定度U_rel(m)=3×10^-4，包含因子k=3，得其相對標準不確定度為u_rel(m)=1×10^-4。計算方程(測量模型)為:
    W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)
        =(V(HCl)×c(HCl)×M(KOH))/m
代入輸出量的估計值得:
    W(KOH)=56.1×10^-3
其相對標準不確定度u_rel[W(KOH)]，可按u_rel(V)，u_rel(c)，u_rel(m)按方和根得出為:
    u_rel[W(KOH)]=
    
    =0.29×10^-2
如要求給出u[W(KOH)]，則再乘以W(KOH)的估計值:
    56.1×10^-3×0.29×10^-2=17×10_-5
    本例所討論的計算方法，提供了不需求靈敏系數對合成標準不確定度的計算。
    7.7  當輸入量X_i之間出現了兩個(gè)或兩個(gè)以上的量x_i明顯相關(guān)時(shí)，是否可以不去計算協(xié)方差或是相關(guān)系數進(jìn)行合成標準不確定度的計算？
    在《JJF1059》中只提到協(xié)方差與相關(guān)系數的A類(lèi)評定方法，將它與其他分量的方差相加進(jìn)行合成。實(shí)際工作中，特別是在計量學(xué)領(lǐng)域，采用A類(lèi)評定是十分復雜的。我們可以按經(jīng)驗，把輸入量x_i中強相關(guān)的那些分量(u(x_i)等也是由若干分量合成的，其中既有與其他輸入量強相關(guān)的分量，也有相互獨立的分量)，按強相關(guān)(r=+1)先行單獨合成作為輸出量不確定度u(y)的一個(gè)分量，然后把不相關(guān)的那些分量按彼此獨立合成為u(y)的第二個(gè)分量，最后將此兩分量按彼此獨立來(lái)進(jìn)行合成(參閱本講座6.18)。
    例如:在《JJF1059》合成標準不確定度u_c(y)的評定中，給過(guò)一個(gè)例子，當標稱(chēng)值為1kΩ的10個(gè)電阻器，用1個(gè)值為R_s的標準電阻器校準，設校準過(guò)程中的不確定度遠小于R_s的標準不確定度u(R_s)而忽略不計，校準證書(shū)給出u(R_s)=0.10Ω?，F將此10個(gè)電阻器用電阻可忽略的導線(xiàn)串聯(lián)構成一個(gè)10kΩ的參考電阻，其R_ref= f(R_i)=R_i(線(xiàn)性相加)?！禞JF1059》中給出的電阻器的相關(guān)系數為r(R_i，R_j)=1，并不可能是按A類(lèi)評定的，因為不存在多個(gè)標準器分別對這10個(gè)電阻器進(jìn)行校準。這里的r(R_i，R_j)是按經(jīng)驗得出的。通過(guò)經(jīng)驗，當兩個(gè)(或多個(gè))輸入量使用了同一個(gè)標準器或同一臺測量?jì)x器時(shí)，或使用了相同的參考數據，則它們之間存在極大的正相關(guān)。10個(gè)電阻器的校準正是這種情況。在r=+1的情況下，
    即線(xiàn)性相加，因而，所構成的10kΩ的R_ref的合成標準不確定度
    u_c(R_ref)=u(R_i)
    =10×0.10Ω=1.0Ω
    但是，如果校準過(guò)程中帶來(lái)的不確定度并非可忽略不計，例如在對這10個(gè)中每個(gè)電阻器校準過(guò)程中的標準不確定度為0.5Ω，10個(gè)這樣的分量彼此獨立，大小也一樣，合成起來(lái)就是0.5Ω×=1.6Ω。它應按方和根與前面相關(guān)部分合成的1.0Ω合成的u(R_ref)==1.9Ω。
    7.8  合成標準不確定度u_c(y)的自由度計算中應注意什么問(wèn)題？
    合成標準不確定度的自由度稱(chēng)為有效自由度，符號為v_eff輸出量估計值y不確定度的各個(gè)分量u_i(y)的自由度不論是采用A、B兩類(lèi)中的何種方法評定出的，u_i(y)的自由度與u(x_i)的自由度相同。不因為u(x_i)乘靈敏系數c_i之后而改變。計算式
    用于按u_i(y)計算的情況。如有相關(guān)項，協(xié)方差只出現在合成前u_c(y)的計算之中，在分母中不再出現。
    當用相對標準不確定度分量u_rel(x_i)合成時(shí)，u_crel(y)的有效自由度只按下式計算:
    

式中，p_i為x_i的指數，參閱7.6。