國家質(zhì)檢總局福州培訓中心  彭靖

　　一、問(wèn)題的提出

　　在不等精度直接測量時(shí)，由各測量值x_i及其標準差σ_i計算加權算術(shù)平均值的標準差時(shí)，有兩個(gè)計算公式
    
　　式中:p_i——各測量值的權；σ_i——各測量值的標準差；σ——單位權標準差；——加權算術(shù)平均值的標準差。
　　但這兩個(gè)公式的計算結果有時(shí)會(huì )相差很大。那么，在這種情況下，采用哪個(gè)公式更為合理呢？本文對此從公式的推導到公式的選用進(jìn)行探討，并給出了一般性的原則。    

　　二、公式的數學(xué)推導

　　在不等精度測量時(shí)，各測量值的權的定義式為:
　　
　　測量結果的最佳估計值為:
　　
　　則測量結果的不確定度評定為:
　　對式(5)求方差有
　　
　　設各測量值x_i的方差都存在，且已知分別為，即D(x_i)=
　　由(4)式有=σ²/p_i
    
    
　　從公式(1)的推導，我們可以看出，此時(shí)各測量值的方差(或標準差)必須是已知的。而在實(shí)際測量中，常常各測量值的方差(或標準差)是未知的，無(wú)法直接應用公式(1)進(jìn)行不確定度評定。但是，從分析來(lái)看，如果能由各測量值的殘差(其權等于測量值的權)求出單位權標準差的估計值，并將其代入公式(1)中，就可計算出加權算術(shù)平均值標準差的估計值。為此，作如下推導:
    由殘差ν_i=x_i-  i=1，2，……n
    對ν_i單位權化
    
    由于v_i的權都相等，因而可設為1，故用v_i代替貝塞爾公式中的ν_i可得單位權標準差的估計值
    
    將此式代入公式(1)，即得到加權算術(shù)平均值標準差的估計值
    
    從上面的推導我們可以看出，公式(1)是在各測量值的標準差已知時(shí)計算出的不等精度測量結果的不確定度的準確值；而公式(2)是在各測量值的標準差未知時(shí)計算出的不等精度測量結果的不確定度的估計值。從概率論與數理統計知識可知，只有在n→∞時(shí)，其單位權標準差的估計值才能等于單位權的標準差，而由于測量次數的有限性和隨機抽樣取值的分散性，這兩者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)確定的不確定度的值是也不相同的。
    

三、公式選用的一般原則

    筆者用了較大的篇幅來(lái)進(jìn)行公式的數學(xué)推導，主要是為了說(shuō)明這兩個(gè)公式推導的前提是不一樣的，其應用當然也就不同。我們分兩種情況來(lái)進(jìn)行討論。
    1.各測量值的標準差未知時(shí)
    顯然，在這種情況下，由于其測量值的權是由其他方法得到的，而各測量值的標準差未知，無(wú)法應用公式(1)來(lái)進(jìn)行不確定度評定，而只能用公式(2)。
    2.各測量值的標準差已知時(shí)
    當已知測量值x_i和其標準差σ_i時(shí)，有兩種方法計算的標準差:第一種方法是用公式(1)進(jìn)行計算，第二種方法是用公式(2)進(jìn)行計算。前面已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩種方法的區別是:第一種方法是根據已知的σ_i計算，沒(méi)有用到測量數據x_i。而第二種方法既用到了σ_i(確定權)，也用到了測量數據x_i(計算殘差)。公式(2)是一個(gè)統計學(xué)公式，與觀(guān)測次數n有關(guān)，只有n足夠大，即觀(guān)測數據足夠多時(shí)，該公式才具有實(shí)際意義。所以，根據前面的推導分析，當測量次數較少時(shí)，考慮到隨機抽樣取值的分散性，建議采用公式(1)進(jìn)行不確定度評定，當測量次數較多時(shí)，采用公式(2)評定不確定度更能真實(shí)地反映出這一組數據的不確定度值，它包含了由隨機效應引起的不確定度，也包含了由系統效應引起的不確定度，因而更具有實(shí)驗性質(zhì)?，F在的問(wèn)題是，測量次數究竟為多少時(shí)才是較少或較多呢？根據概率論與數理統計知識，單次測量的標準差與平均值的標準差的關(guān)系為:，當σ一定時(shí)，n>10以后，已減少得非常緩慢。所以常把n=10作為一個(gè)臨界值。綜上所述，當測量次數n<10時(shí)，用公式(1)進(jìn)行計算效果較好；當測量次數n≥10時(shí)，采用公式(2)來(lái)評定不確定度會(huì )更客觀(guān)一些。另外，還有一個(gè)問(wèn)題值得注意:不等精度測量本來(lái)就是改變了測量條件的復現性測量，這些改變了的測量條件有可能帶來(lái)系統誤差。當n足夠大時(shí)且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時(shí)，兩個(gè)公式計算的結果應近似相等。否則本次測量數據可能存在系統誤差。
    

四、實(shí)例

    [實(shí)例1]用國家基準器在相同的條件下連續3天檢定某一基準米尺，檢定的結果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值.雪，999.9419mm(5次測量取平均值)，試求最終的檢定結果。
    [解]由于測量條件相同，3天里的10次測量是等精度的。3個(gè)檢定結果所以精度不等，是因為每天測量的次數不同，所以其權為:
    p₁:p₂:p₃=σ²/n₁:σ²/n₂:σ²/n₃=3:2:5
    所以，加權算術(shù)平均值為:
    
    因各測量值的標準差未知，故σ_x應按公式(2)估算，所以
    
    [實(shí)例2]對某物理量進(jìn)行9次直接測量，數據見(jiàn)下表，評定測量結果的不確定度。
    

    [解](1)計算各測量值的權:
    由式(4)知
    p_i=σ²/
    令單位權標準差σ=50，則各測量值的權為:
    p₁:p₂:p₃:p₄:p₅:p₆:p₇:p₈:p₉
=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
    (2)計算最佳估計值:
    
    (3)計算的標準差:
    第一種方法；用公式(1)計算
    
    第二種方法:用公式(2)計算
    
    從本例看，兩種方法計算的結果相差較大。依據第三節的原則，該例采用第一種方法計算的結果為好。從對觀(guān)測列的分析來(lái)看，x_max-x_min=132，取值很分散，似有系統誤差存在。當系統誤差大于隨機誤差時(shí)，測量值的變化規律會(huì )明顯地為系統誤差所左右，因而無(wú)法用統計的方法得到正確的測量結果，原有的測量值也就失去了意義。要有效地提高測量準確度，必須認真分析測量過(guò)程中系統效應的影響，并采取措施，減小或消除其影響。