測量不確定度理解與應用(二)
極差法和貝塞爾法之間的比較

　　 標準不確定度的A類(lèi)評定定義為:“用對觀(guān)測列進(jìn)行統計分析的方法，來(lái)評定標準不確定度”。國家計量技術(shù)規范JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》中介紹了兩種A類(lèi)評定的方法，貝塞爾法和極差法。
    1.貝塞爾法
    當在重復性或復現性條件下，對被測量X進(jìn)行n次獨立觀(guān)測。若得到的測量結果分別為x₁，x₂，……，x_n，n次測量的平均值為。于是用貝塞爾公式可以求出單次測量結果x_i的實(shí)驗方差s²(x_i)和實(shí)驗標準差s(x_i)。
    
    2.極差法
    當在重復性或復現性條件下，對被測量X進(jìn)行n次獨立觀(guān)測。若n個(gè)測量結果中最大值和最小值之差為R(稱(chēng)為極差)，在可以估計X接近正態(tài)分布的條件下，單次測量結果的實(shí)驗標準差s(x_iv)可近似地表示為:
    s(x_i)=R/C=u(x_i)
    式中系數C為極差系數。極差系數之值與測量次數n的大小有關(guān)。表1給出極差法的極差系數和自由度與測量次數的關(guān)系。
    

    既然隨機變量X的標準偏差可以用兩種方法得到，就不可避免地會(huì )提出兩種方法孰優(yōu)孰劣的問(wèn)題。無(wú)疑，極差法具有計算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。但在計算機應用已經(jīng)十分普及的今天，用貝塞爾公式計算也已變得相當容易。因此關(guān)鍵問(wèn)題還在于用何種方法估算得到的不確定度更為準確。
    表面上看來(lái)，用貝塞爾公式進(jìn)行計算時(shí)使用了全部n個(gè)測量結果，而極差法只用了一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，其余數據均棄之不用，因此用貝塞爾法得到的實(shí)驗標準差應該比極差法更為可靠。比較兩種方法的自由度也可以看出，極差法的自由度比貝塞爾法小(貝塞爾法的自由度為n-1，而極差法的自由度<n-1)。于是可以得到同樣的結論，貝塞爾法比極差法更為可靠。
    但實(shí)際上問(wèn)題并沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。根據定義，用標準偏差表示的不確定度稱(chēng)為標準不確定度。因此從理論上說(shuō)，應該計算的是標準偏差σ，而不是實(shí)驗標準差s。但標準偏差是一個(gè)總體參數，也就是說(shuō)，要進(jìn)行無(wú)限多次測量才能得到。在實(shí)際工作中只能用樣本參數來(lái)代替總體參數，即用實(shí)驗標準差s來(lái)作為標準偏差σ的估計量。理論上可以證明，實(shí)驗標準差s并不是標準偏差σ的無(wú)偏估計量。這就是說(shuō)，當用實(shí)驗標準差s來(lái)代替標準偏差σ時(shí)，除了實(shí)驗標準差s本身是一個(gè)隨機變量外，它的數學(xué)期望值(即無(wú)限多次測量結果的平均值)相對于標準偏差σ還有一個(gè)與測量次數有關(guān)的系統性偏差。測量次數越少，其系統性偏差就越大。因此可以對貝塞爾公式作一無(wú)偏差的修正。經(jīng)過(guò)無(wú)偏差修正后的貝塞爾公式為:
    
    上式中修正因子M_n的數值見(jiàn)表2。由表2可知，當測量次數n≤6時(shí)，隨著(zhù)測量次數減少，偏離系數M_n將明顯加速偏離1。
    

    也可以分別計算出用貝塞爾公式和極差法得到的實(shí)驗標準差的相對標準不確定度，其計算結果見(jiàn)表3。由表3可以看出，當測量次數n=10時(shí)，兩種方法得到的實(shí)驗標準差準確程度幾乎相同。當n>10時(shí)，貝塞爾法優(yōu)于極差法；當n<10時(shí)，極差法優(yōu)于貝塞爾法。至于修正的貝塞爾公式，相比而言雖然最為準確，但因比較麻煩實(shí)際上很少使用。這就是為什么國家計量技術(shù)規范JJF1059-1999中在給出極差系數及自由度表后指出“一般在測量次數較小時(shí)采用該法”，以及國家計量技術(shù)法規統一宣貫教材《測量不確定度評定與表示指南》中同時(shí)還指出“測量次數以4～9次為宜”。
    

    上面的分析，僅是針對實(shí)驗標準差而言的。在大部分的測量不確定度評定中，測量不確定度A類(lèi)評定僅是其中的一個(gè)或幾個(gè)分量。他們還將與其他B類(lèi)評定的分量合成，才能得到合成標準不確定度。合成的方法是方差相加。雖然實(shí)驗標準差s并不是標準偏差的無(wú)偏估計量，但卻可以證明實(shí)驗方差s²是總體方差σ²的無(wú)偏估計量。因此，若A類(lèi)評定需要和其他B類(lèi)分量合成，且A類(lèi)評定分量不占優(yōu)勢時(shí)，則無(wú)論測量次數的多少，貝塞爾法將優(yōu)于極差法。
    因此筆者認為結論應該是:
    (1)當A類(lèi)評定不確定度分量不是合成標準不確定度中惟一占優(yōu)勢的分量時(shí)，則無(wú)論測量次數多少，貝塞爾法優(yōu)于極差法。
    (2)當A類(lèi)評定不確定度分量是合成標準不確定度中惟一占優(yōu)勢的分量時(shí)，則兩種方法的優(yōu)劣與測量次數有關(guān)。當測量次數n<10時(shí)，極差法優(yōu)于貝塞爾法；當測量次數n≥10時(shí)，貝塞爾法優(yōu)于極差法。