一、測量誤差的概念及分類

測量誤差的定義為：“測得的量值減去參考量值”。其中，測得的量值也可稱為測得值，是表示測量結果的量值。參考量值也可稱為參考值，可以是被測量的真值；可以是給定的一個約定量值（即約定真值）；可以是具有可忽略測量不確定度的測量標準賦予的量值（簡稱標準量值）。

測量誤差是由隨機誤差和系統誤差構成的，這兩類分量都各有其誤差值（帶有正或負的符號），它們的代數和構成了測量誤差。

隨機誤差的定義為：“在重復測量時按不可預見的方式變化的測量誤差的分量”。其特點是,當測量次數趨于無窮大時，隨機誤差的數學期望趨于零。隨機誤差等于測量誤差減去系統誤差。

系統誤差定義為：“在重復測量時保持恒定不變或按可預見的方式變化的測量誤差分量”。其特點是，測量誤差的數學期望即為系統誤差。系統誤差等于測量誤差減去隨機誤差。

從隨機誤差引出殘差的概念，將“測量列中的一個測得值與該測量列算術平均值之差”稱為殘差。

此時，隨機誤差的最佳估計值就是殘差。殘差又稱為殘余誤差或剩余誤差，是指測量列中的一個測得值與該測量列算術平均值之差。

殘差是計算實驗標準偏差和測量不確定度的必不可少的參數。殘差有兩個特性：一是測量列中n個殘差的代數和等于零；二是測量列中n個殘差的平方和為最小。因而，實際應用中，一般都是用測得值減去算術平均值所得值作為隨機誤差的最佳估計值。

修正值是指：以代數法相加于未修正測得量值，以補償系統誤差的值。因此，修正值等于負的系統誤差。修正因子是指：為補償系統誤差而對未修正測得量值相乘的數字因子。

修正后的測量結果中，由系統效應引起的系統誤差的數學期望為零。

研究隨機誤差的關鍵是掌握殘差的特性和應用方法，正確運用殘差計算實驗標準偏差和測量不確定度。因為實驗標準偏差是殘差平方和除以自由度所得之商的平方根，即沒有殘差就無法計算實驗標準偏差。

研究系統誤差的關鍵是掌握如何確定系統誤差的常數，并將其作為修正值以補償或減少誤差的影響。因為修正值等于負的系統誤差，如果不能確定系統誤差的常數，而只是作一般的分析和評定是沒有任何實際意義的。測量誤差理論是測量不確定度評定的理論基礎。

二、概率論的基本知識

為了在數學上把某一事件出現的可能性表示出來，就需要聯系到概率的概念。設隨機事件在次試驗中發生了次，則其比值稱為隨機事件的頻率，記作。                              

由隨機事件的頻率穩定性可以看出，隨機事件發生的可能性可以用一個數值來表示，這個數值就是概率，其定義為：將表示隨機事件在試驗中發生的可能性程度的，小于1的正數叫做隨機事件的概率。

當實驗次數無窮大時，隨機事件發生頻率的極限值就是概率。

頻率是實驗次數有限時定義的，概率是實驗次數無窮大時定義的。當實驗次數有限時，可以用頻率來代替概率；當實驗次數無窮大時，頻率和概率就是一回事。

為了研究連續型隨機變量的理論分布，進而引進隨機變量的分布函數概念和概率分布密度的概念。隨機變量的概率密度等于分布函數的導數，即分布函數是分布密度的原函數。

隨機變量的概率隨取值而變化的規律稱為隨機變量的概率分布，而概率分布可用概率分布密度函數來描述，概率分布密度函數的圖形通常叫做分布曲線，通過分布曲線的分析，可以得出概率分布的相關性質。常用隨機變量的概率分布主要有正態分布、均勻分布、三角分布、t分布等。

正態分布密度函數是一個指數方程式，一般稱為高斯方程式或高斯分布。在測量實踐中，均勻分布也是常見的一種分布，其特點是在誤差范圍內，誤差出現的概率各處相同。因此，均勻分布又稱為矩形分布或等概率分布。

當隨機變量的取值服從某分布時，落在某區間的概率即為置信概率。在不確定度評定中，置信概率又稱為包含概率，是指在擴展不確定度確定的測量結果的區間內，合理地賦予被測量之值分布的概率

測得量值的數學期望是指對同一個被測量進行無窮多次重復測量所得算術平均值的極限。                  

為了判定隨機變量的各觀測值相對平均值的離散程度，可用離差平方的數學期望作為隨機變量的另一個數字特征。一般習慣上稱其為隨機變量的方差。

概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的一系列定理稱為大數定律。大數定律的內容是：當測量次數無窮大時，可用算術平均值代替數學期望，即在這種情況下，算術平均值和數學期望是一回事；當測量次數無窮大時，可用頻率代替概率，即在這種情況下，頻率和概率是一回事。

中心極限定理的內容是：大量的獨立隨機變量之和，具有近似于正態的分布。

三、隨機誤差的分布與估計

隨機誤差是一種由多種隨機因素的影響而產生的不確定性誤差，而不確定性誤差是以不確定度表征的誤差。

隨機誤差服從于正態分布，其隨機誤差取各可能值的概率大小，可用正態分布密度函數表示，通過對正態分布曲線的分析，可以總結出隨機誤差的以下四個特征：

1.絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數相等。

2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多。

3.在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。

4.隨著測量次數的增加隨機誤差的算術平均值趨于零。

可以看出，在正態分布密度函數中，有兩個非常重要的參數，就是數學期望和標準偏差。它是測量誤差的數字特征，也是測量不確定度評定的理論基礎。

算術平均值是指重復測量的全部測得量值的代數和除以測量次數所得之值。在實際測量中，用算術平均值來表征測得量值的最佳估計值。

對誤差值而言，如誤差值的數學期望不為零，說明有系統誤差存在；如誤差值的數學期望為零，說明無系統誤差存在。

標準偏差是表征測量結果分散性的重要參數，采用貝塞爾公式可計算出標準偏差的值?？梢钥闯?，通過測量誤差引出了算術平均值，通過算術平均值引出了殘差和自由度，進而引出了實驗標準偏差，實驗標準偏差用來表征對同一被測量作n次測量結果的分散性。而表征合理地賦予被測量之值的分散性，又與測量結果相聯系的參數就是測量不確定度。因此，實驗標準偏差是測量不確定度評定的重要參數，也是測量不確定度評定的理論基礎。

在n次獨立的測量中，取n次測量值算術平均值作為測量結果，要比取一次值可靠倍。即n次測得量值的算術平均值的標準偏差與成反比。

應強調指出，無論是總體標準偏差還是實驗標準偏差，都不是一個具體的誤差。它的數值大小只不過說明在一定條件下進行一系列測量時，隨機誤差出現的概率密度分布情況。值小則表明測得量值比較集中，值大則表明測得量值比較分散。

所以在測量中，用算術平均值作為測得量值的最佳估計值，用實驗標準偏差表征測得量值的分散程度。

四、系統誤差的發現與消除

要正確理解系統誤差。在測量過程中所產生的誤差，如果它們的數值是保持恒定不變或按可預見的方式變化的，那么就稱這種誤差為系統誤差?？梢钥闯?，系統誤差的出現一般是有規律的，其產生的原因往往是可預知或可掌握的。一般來說，應盡可能設法預見到各種系統誤差的來源并設法消除其影響；同時還要設法確定或估計系統誤差恒定不變的常數，將其作為修正值在測量結果中加以修正。

要搞清楚系統誤差的來源。由于系統誤差不可能通過對測量數據的概率統計方法來發現和消除，因而就會嚴重影響其測量結果。因此，在測量前一定設法了解一切可能產生系統誤差的來源并設法消除它，使其影響能減弱到可以忽略的程度。所以應了解系統誤差的來源，系統誤差的來源主要有以下四個方面：測量儀器引起的系統誤差；環境條件引起的系統誤差；測量人員引起的系統誤差；測量方法引起的系統誤差。

對于測量者來說，應盡可能地設法預見各種系統誤差的具體來源，并極力設法消除它的影響，其次是設法確定或估計出能消除的系統誤差之值。

最終要掌握系統誤差的減小和修正方法。主要方法有：從測量儀器的設計上減小系統誤差的影響；從測量儀器的工藝上減小系統誤差的影響；從測量儀器的使用上減小系統誤差的影響；從測量方法的選擇上減小系統誤差的影響。在實際測量中，可以通過選擇正確的測量方法來減小系統誤差的影響。常用的減小系統誤差的方法有代替法、異號法、抵消法、交換法等。

修正值等于負的系統誤差。因此，當測得量值與相應的標準量值比較時，測得量值與標準量值的差值為測得量值系統誤差的估計值。

因為修正值的本身也存在一定誤差，因此用修正值消除系統誤差的方法，不可能將全部系統誤差修正掉。

五、測量結果的數據處理

測量結果的數據處理是指獲得測得量值后對數據的處理方式，即如何用算術平均值作為被測量的最佳估計值，如何用實驗標準偏差表征測量結果的分散性，如何剔出異常值，如何處理有效數字和進行數字修約等。

測量結果中的異常值是由測量過程中的粗大誤差所引起的，其數值比較大，所產生的原因往往是由于測量者的粗心大意，或測量過程中不可重復的突發事件造成的，其對測量結果有明顯的歪曲，應予及時發現將其剔除。

一般地說，隨機誤差按照正態分布的規律出現，在分布中心附近出現的機會最多，在遠離分布中心處出現的機會最少。根據這種情況，如果在實際測量中有一個遠離分布中心的數值，即可判斷此數值是屬于異常值應予剔除，異常值的判斷準則就是跟據這個總的原則確定的。異常值的判斷準則有：萊以特準則、肖維勒準則和格拉布斯準則。

測量結果數字位數的確定，稱為測量結果的有效數字處理。所謂有效數字是指在一個數中，從左邊第一個非零數字開始直到最右邊的正確數字，都叫這個數的有效數字。對某一數字，根據保留位數的要求，將多余位數的數字按照一定規則進行取舍，這一過程稱為數字修約。

一般為了保持測量結果的準確度，根據測量結果的不確定度，當有效數字的位數確定后，其后的數字應一律舍去，最后一位有效數字，則按通用數字修約規則進行修約。

通用數字修約規則為：以保留數字的末位為單位，末位后的數字大于0.5者末位進一；末位后的數字小于0.5者末位不變；末位后的數字恰為0.5者，使末位成為偶數，即當末位為偶數時則末位不變；當末位為奇數時則末位進一。

所謂等精度測量是指對某一量的測量，是在恒定的測量條件下進行的。即在整個測量過程中，所使用的測量儀器、環境條件，以及測量者都沒有變化。

所謂不等精度測量是指對某一量的測量，在不同的條件下，不同的測量方法，不同的測量儀器，不同的測量次數，以及不同的測量人員進行的，其目的是為了得到較高準確度的測量結果。在不等精度測量結果的處理時，就不能把各種條件下所得到的結果以算術平均值作為它的可靠值，因為此時它們不僅是在各種不同條件下得到的各組不同值，而且它們的準確度各不相同。

在被測量的數目較多情況下，為了以較少的測量次數達到較高的測量準確度，常常采用組合測量的方法。組合測量可以這樣理解，若同時有若干個同名的被測量，但不是直接測量它們而是直接測量由其組成的不同方程組成的某一些量，然后解此方程組以求得各被測量，這樣組合的過程稱為組合測量。

最小二乘法原理說：在等精度測量中，從一組測得值所確定代替真值的最佳估計值，是能使各測得值與它偏差值的平方和為最小的那個值。

因而可得：在等精度測量條件下，測得值的算術平均值是符合最小二乘法原理的最佳值，而它殘差的平方和也必然為最小。如果反過來說，如果它的殘差平方和為最小，那么在該條件下所得的值也是最佳估計值。

六、測量不確定度的概念及術語

根據所用到的信息，表征賦予被測量量值分散性的非負參數稱為測量不確定度。測量不確定度可理解為，是用實驗標準偏差、或實驗標準偏差的倍數、或說明了包含概率的區間半寬度，來表征被測量量值的分散程度。

不確定度的定量評定只是一種估計，用來表征被測量值所處的范圍，是對測得量值可靠程度的一種評定：不確定度愈大，測得量值愈遠離真值，表示測得量值不可靠；不確定度愈小，測得量值愈接近真值，表示測得量值可靠，其準確度高。

測量不確定度的A類評定是指用統計分析的方法獲得的分量，并用實驗標準偏差表征；測量不確定度的B類評定是指用其他方法獲得的分量，也用實驗標準偏差表征，根據經驗或其他信息的概率密度函數評定。

用標準偏差表示的測量不確定度稱為標準不確定度。由測量模型中各輸入量有關的標準測量不確定度獲得的標準測量不確定度稱為合成標準不確定度。合成標準不確定度與一個大于1的數的因子的乘積稱為擴展不確定度。

包含區間是說明了概率的一組被測量真值所包含的區間。包含概率是指在包含區間內包含一組被測量真值的概率。包含因子是指對合成標準不確定度所乘的大于1的數。

由于被測量定義中細節的有限說明所產生的測量不確定度分量稱為定義的不確定度。根據測量結果的預期用途確定和規定的測量不確定度上限稱為目標不確定度。由所用測量儀器或測量系統引起的測量不確定度的分量稱為儀器的不確定度。

準確度是定性說明測量結果中隨機誤差和系統誤差的綜合，即測得量值即不偏離真值，測得量值之間又不分散的程度。正確度是定性說明測得量值中系統誤差大小的程度，即數學期望和參考量值之間的一致程度。精密度是定量表示測量結果中隨機誤差大小的程度，反映了被測量的測得量值間的符合程度。

最大允許誤差是指由給定測量、測量儀器或測量系統的規范或規程所允許的，相對于已知參考量值的測量誤差的極限值。最大允許誤差是針對某一個測量區間，儀器不確定度是針對某一個量值；最大允許誤差給出的是測量誤差的極限值，儀器不確定度給出的是量值分散性的實際值；最大允許誤差是人為事先在技術規范中的規定，儀器不確定度可以人為事先確定也可以通過事后對儀器校準所獲得。

測量儀器最大允許誤差與目標不確定度都是事先規定的測量誤差的極限值或不確定度的上限值?？梢詮淖畲笤试S誤差或最大允許不確定度，以及誤差限或不確定度上限的角度來理解。如果目標不確定度的目標是針對測量儀器，即對測量儀器的不確定度規定了一個上限值或規定了若干個上限值，那么目標不確定度和儀器不確定度就有相同的含義。

七、測量模型與測量函數

測量模型和測量函數是測量不確定度評定過程中的兩個重要數學概念。

測量模型是指測量所包含的全部已知量之間的數學關系，其通用形式是方程。測量模型是用于計算被測量估計值的數學公式。

測量函數是指：當用測量模型中輸入量的已知量值計算的值是測量模型中輸出量的測得值時，各量的函數關系。測量函數是用于計算被測量估計值不確定度的數學公式。

在實際測量中，當被測量確定后，就要根據被測量的定義，給出被測量的具體計算公式。被測量的計算公式明確給出了所有輸入量的估計值和被測量估計值之間的數學關系，只要測量出各輸入量的量值后，代入到計算公式中即可計算出被測量的估計值。因此，當被測量確定后，被測量的測量模型是指被測量的數學表達式，即被測量估計值的計算公式。

當被測量確定后，要根據被測量的計算公式和被測量估計值不確定度的測量函數，給出被測量估計值不確定度的計算公式，將各個其他輸入量估計值的標準不確定度的值和相應的靈敏系數值代入公式便可計算出被測量估計值不確定度的值。

建立被測量的測量模型，首先要確定被測量，當被測量確定后，就要根據被測量的定義，給出被測量的具體計算公式。因此，被測量的測量模型就是指被測量的計算公式。只要確定了被測量的計算公式，就可以很方便地建立被測量估計值不確定度的測量函數。因為被測量估計值不確定度的測量函數，是建立在被測量估計值計算公式的基礎上。

在建立測量不確定度測量函數的過程中，如有數據表明，沒有將測量過程模型化至測量所要求的準確度。即在測量中對各個其他輸入量的不確定度分量考慮的還不夠全面，遺漏了對測量結果不確定度有顯著影響的其他影響量。在這種情況下，則必須在測量函數中增加新的其他影響量，直至滿足測量結果不確定度的評定要求。

在測量不確定度的評定中，分析和確定不確定的來源十分重要。因為不確定度來源不清楚，就無法評定測量不確定度。在分析測量不確定度來源時，原則上是可以說應從設備、人員、環境、方法及被測對象幾個方面考慮，不可遺漏，也不可重復。但這不是一種簡單實用的方法，因為缺乏可操作性。

在測量函數中，有多少個輸入量就有多少個不確定度來源，也就有多少個標準不確定度。當被測量確定后，被測量估計值不確定度的計算公式也就確定了，根據公式就可以得到不確定度來源的具體內容，并依次將其列出。如果遺漏了對測量結果不確定度有顯著影響的其他影響量，可在測量函數中增加新的其他影響量，直至滿足測量結果不確定度的評定要求。

 八、測量不確定度的評定方法

在測量不確定度的評定時，首先要確定被測量的最佳估計值。被測量的最佳估計值確定后，就要評定各輸入量的標準不確定度，其評定方法可采用A類評定和B類評定。再計算合成標準不確定度，評定擴展不確定度，最后給出測量不確定度報告。

基本方法是指用貝塞爾公式計算實驗標準偏差。即以算術平均值作為測得量值的最佳估計值，以算術平均值的實驗標準偏差作為測得量值的標準不確定度，即A類評定的標準不確定度。

測量不確定度的B類評定，是指用不同于統計分析方法的其他方法評定的分量，并同樣用實驗標準偏差來表征。

測量不確定度B類評定的基本方法是，根據對被測分量估計值所提供信息的分析，確定被測分量估計值之值分散區間的半寬及其包含因子，根據公式計算出標準不確定度分量的估計值。

被測分量估計值之值分散區間的半寬，可以是擴展不確定度、儀器不確定度、測量儀器的最大允許誤差，或其他與被測分量有關的誤差極限值。被測分量的包含因子，可以根據被測分量的分布類型確定?？梢?，標準不確定度B類評定的關鍵，一是如何確定被測分量估計值分散區間的半寬；二是如何確定其包含因子。

在對被測分量的概率分布無法估計時，可以采用假設概率分布的方法。優先假設為均勻分布，其次假設為正態分布。當假設概率分布為正態分布時，其包含因子在2~3中選擇。一般情況下，假設概率分布法是測量不確定度B類評定中一個比較實用的方法。

在合成標準不確定度之前，應確保所有不確定度分量均用標準不確定度表示，如果存在用其他形式表示的不確定度分量，則應將其變換為標準不確定度。

合成標準不確定度時應考慮各輸入量間的相關性。按被測量估計值測量不確定度的測量函數導出的計算公式進行合成計算，必要時考慮協方差。

擴展不確定度是指合成標準不確定度與包含因子的乘積。擴展不確定度是被測量的可能值包含區間的半寬度。擴展不確定度分為和兩種。在給出測量結果時，一般情況下應報告擴展不確定度。

當合成標準不確定度的概率分布近似為正態分布，且其有效自由度比較大時，或合成標準不確定度的有效自由度無法得到時，或擴展不確定度沒有包含概率要求時，k值一般取2~3，在大多數情況下取k=2，當取其他值時，應說明其來源。如有包含概率的要求則應合理選擇包含因子。

完整的測量結果含有兩個基本量，一是被測量的估計值；二是被測量估計值的測量不確定度。

擴展不確定度的通用報告形式：依次給出被測量的符號及測得量值，擴展不確定度的符號及量值，包含因子的符號及量值。           

九、產品檢驗測量不確定度與合格評定

涉及產品檢驗測量不確定度評定方法，以及考慮測量不確定度因素的合格評定方法。

測量不確定度適用于各種測量領域，是用于表征被測量值分散性的參數。因此，所有參數測量結果都應給出被測量的量值和測量不確定度，可用GUM進行評定。

檢定、校準和檢測的共同點是參數測量，其核心是通過參數測量實現預期目的?？梢哉f參數測量是所有檢定、校準、測試、檢驗、檢測、檢疫的基本要素和通用技術手段，檢定、校準、測試、檢驗、檢測、檢疫等都是測量的一種特定形式，其相應的測量能力都用測量不確定度表述。

在產品標準中，一是規定產品的技術要求；二是規定產品的試驗方法。規定的技術要求主要包括定量要求和定性要求：定量要求是指通過可測量的數值來表示的要求；定性要求是指其他要求，如產品的外觀、結構、號型、功能、標志、標識、包裝、運輸等要求。因此，產品檢驗結果的不確定度評定只針對有定量要求的產品特性參數。在對給定產品進行檢驗時，根據產品標準的規定技術要求，對產品質量影響較大而又需要測量的特性參數評定測量不確定度。

產品質量檢驗結果的不確定度評定，并不是對產品質量最終檢驗結果的評定，而是對產品標準規定的一組參數測量結果不確定度的評定。即產品質量檢驗是一組參數測量的過程，每一個參數測量都應給出測得值和相應的測量不確定度。產品質量的參數是由物理量、化學量以及其他可測量組成。

在合格評定中應考慮測量不確定度的影響。如應根據被測量的量值及其測量不確定度來判定產品是否合格。產品合格的判定依據是產品標準，標準中一般給出由下限值和上限值組成的允許區間，或只給出下限值，或只給出上限值。

當測量結果位于被測量的允許區間內，或小于等于上限值，或大于等于下限值時，則判定檢驗合格。

當測量結果位于被測量的允許區間之外，或大于上限，或小于下限時，則判定檢驗不合格。

十、測量不定度的應用

將可以忽略的誤差和不確定度分量稱為微小誤差和微小不確定度。

微小誤差含微小確定性系統誤差和微小不確定度，其中微小確定性系統誤差的準則為“十分之一”準則；微小不確定準則為“三分之一”準則。

在實際測量工作中，經常會根據合成標準不確定度來確定各標準不確定度分量，這類問題就稱為測量不確定度分配。例如在制定測量方案時，在已明確測量結果的目標不確定度，即已給出測量結果不確定度的上限，如何確定來源于各個方面的標準不確定度分量的允許上限。又如在設計和制造測量儀器時，為保證測量儀器的最大允許誤差或目標不確定度在允許范圍內，對測量儀器各組成部分應提出怎樣的要求。諸如此類的問題都屬于不確定度分配問題。

根據被測量允許誤差來選擇測量儀器是一種最常用的通用方法。該方法是指，測量時要使被測量的允許誤差等于3～10倍的測量儀器的最大允許誤差或儀器不確定度。

在實際測量過程中，如何合理選擇測量次數十分重要，可以從單次測量的實驗標準偏差與測量列算術平均值的實驗標準偏差的關系上來選擇測量次數。

在實際測量過程中，間接測量必不可少。間接測量的值是各獨立直接測量值的函數，因此在數據處理時要根據函數誤差計算原則進行。而間接測量必然涉及到函數計算公式，有時會有不同的計算公式可選擇?？梢酝ㄟ^不同計算公式得到的合成標不確定度的結果，選擇最佳計算公式。

詳細內容可參考由中國質檢出版社和中國標準出版社聯合出版的（測量誤差與不確定度評定），耿維明編著。